Если учесть, что не только в России, но и во всём мире уже давно идёт активное заимствование англоязычных слов, то можно говорить, что самые распространённые в мире клички (исключая,  наверное, только китайские варианты) - это популярные клички, пришедшие с запада, из английского языка.

DogNames.ru - популярные, распространённые клички собак

В порядке убывания их по популярности, к наиболее популярным в мире кличкам для собак можно отнести мужские клички:

DogNames.ru - популярные, распространённые клички собак

и наиболее популярные клички для собак в мире женские:

DogNames.ru - популярные, распространённые клички собак

Если же говорить про Россию, то у нас так же распространены клички для собак, полученные от зарубежных слов и с каждым годом таких кличек всё больше и больше (Орандж, Лаки, Джек). Сейчас набирает популярность давать двойные и тройные клички собакам с одновременным использованием и российских и зарубежных слов (наподобие Мэд Дог Алёша Попович). При этом надо сказать, что популярные клички сменяют друг друга со временем, в зависимости от моды. Было модно читать - популярными кличками становились литературные герои (Айвенго, Арамис, Мухтар, Ариэль, Герда),  в начале девяностых появились супер популярные в народе сериалы из которых образовались популярные клички собак (Мэйсон, Изаура, Тони), а так же зарубежные боевики, от которых распространёнными стали клички Рембо, Роки, Кобра и т.п. На данный момент широта кличек поражает воображение, как только сегодня не называют собаку и Евро, и Буш, и Спайдермен, и Десептикон, и Нео, и Джек Воробей, стараясь перещеголять друг друга в оригинальности. Поэтому количество кличек, используемых для названия собак за последнее время существенно увеличилось, однако и сейчас наиболее популярными и распространёнными кличками для собак в России являются:

DogNames.ru - популярные, распространённые клички собак